Quantum

Tratando de entender la Física Cuántica: Principio de No Clonación

Manuel H. AriasDeja un comentario

Uno de los pilares sobre los que se apoya la física cuántica es el principio de no clonación o no replicabilidad.

¿Qué significa eso?: que no podemos copiar el estado de un qubit, o dicho de otra manera que no podemos replicar su estado cuántico en otro qubit. Copiar bits en la computación «clásica» es una operación más que cotidiana, forma parte intrínseca de las operaciones, y no nos podemos imaginar un escenario en el que no podamos hacerlo.

«The no-cloning theorem is one of the key results in quantum mechanics that reflects the underlying non-classical nature of quantum information.»

Fuente: Deutsch, D., Ekert, A., & Jozsa, R. (1996). Quantum privacy amplification and the security of quantum cryptography over noisy channels. Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 452(1954), 1799-1824.

¿Y como podemos demostrar una cosa así?, pues con un poquito de álgebra, espacios vectoriales y productos escalares.

Vamos a ello1…

En primer lugar pensaremos en un operador lineal U aplicable a dos qubits tal que replica el valor de uno de ellos en el otro. Lo podemos expresar en lenguaje matemático tal que :

U|\phi 0\rangle = | \phi \phi \rangle

que indica que aplicamos el operador sobre |\phi \phi \rangle y obtenemos un par de qubits iguales. Habríamos replicado \phi en el qubit con valor inicial 0 . La dimensión del operador U es 4×4, ya que aplica a dos qubits.

Podemos desarrollar el término de la izquierda tal que :

\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\ u_{21} & u_{22} & u_{23} & u_{24} \\ u_{31} & u_{32} & u_{33} & u_{34} \\ u_{41} & u_{42} & u_{43} & u_{44} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\ u_{21} & u_{22} & u_{23} & u_{24} \\ u_{31} & u_{32} & u_{33} & u_{34} \\ u_{41} & u_{42} & u_{43} & u_{44} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \beta \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\ u_{21} & u_{22} & u_{23} & u_{24} \\ u_{31} & u_{32} & u_{33} & u_{34} \\ u_{41} & u_{42} & u_{43} & u_{44} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \\ \beta \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{11} \alpha + u_{13} \beta \\ u_{21} \alpha + u_{23} \beta \\ u_{31} \alpha + u_{33} \beta \\ u_{41} \alpha + u_{43} \beta \end{pmatrix}

y si desarrollamos el término de la derecha:

| \phi \phi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \\ \beta \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha^2 \\ \alpha \beta \\ \alpha \beta \\ \beta^2 \end{pmatrix}

Igualando ambas expresiones obtenemos estas cuatro ecuaciones :

u_{11} \alpha + u_{13} \beta = \alpha^2

u_{21} \alpha + u_{23} \beta = \alpha \beta

u_{31} \alpha + u_{33} \beta = \alpha \beta

u_{41} \alpha + u_{43} \beta = \beta^2

de aquí podemos conseguir muchas soluciones, pero que siempre serán función de \alpha y \beta . Sólo como ejemplo :

u_{11}=\alpha , u_{13} = 0 , u_{21} = 0 , u_{23} = \alpha , u_{31} = \beta , u_{33} = 0 , u_{41} = 0 , u_{43} = \beta

Podemos observar como la matriz U tiene componentes función del qubit a replicar, luego no existe un operador U que replique el estado cuántico de un qubit en otro.

  1. Demostración extraída del libro Introduction to Classical and Quantum Computing de Thomas G. Wong. Capítulo 4.4.4 No-Cloning Theorem ↩︎

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