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Leyes lógicas

Manuel H. AriasDeja un comentario

Logic Lane by Chris Andrews is licensed under CC-BY-SA 2.0

Vamos a enumerar las principales leyes lógicas que nos permiten trabajar sobre expresiones complejas con varias proposiciones. Básicamente son leyes que rigen la Lógica Proposicional. Las enumeramos agrupadas según el número de proposiciones, añadiendo un último bloque con las condicionales.

La lista de leyes está basada en el primer capítulo del libro «Lenguaje matemático: conjuntos y números» de los autores Miguel Delgado Pineda y María José Muñoz Bouzo.

Leyes lógicas con una proposición

Ley de la doble negación:

  • \neg\neg{p} \Longleftrightarrow p

Leyes de simplificación:

  • p \lor p \Longleftrightarrow p
  • p \wedge p \Longleftrightarrow p
  • p \rightarrow p \Longleftrightarrow \mathbf{1}
  • p \leftrightarrow p \Longleftrightarrow \mathbf{1}

Ley del tercio excluso:

  • p \lor \neg{p} \Longleftrightarrow \mathbf{1}

Ley de contradicción:

  • p \wedge \neg{p} \Longleftrightarrow \mathbf{0}

Leyes lógicas con dos proposiciones

Leyes de Identidad:

  • p \lor \mathbf{0} \Longleftrightarrow p
  • p \lor \mathbf{1} \Longleftrightarrow p
  • p \wedge \mathbf{1} \Longleftrightarrow p
  • p \wedge \mathbf{0} \Longleftrightarrow \mathbf{0}
  • \mathbf{1} \rightarrow p \Longleftrightarrow p

Leyes de De Morgan:

  • \neg{(p \lor q)} \Longleftrightarrow \neg{p} \wedge \neg{q}
  • \neg{(p \wedge q)} \Longleftrightarrow \neg{p} \lor \neg{q}

Leyes del condicional:

  • p \rightarrow q \Longleftrightarrow \neg{p} \lor q
  • p \rightarrow q \Longleftrightarrow \neg{(p \wedge \neg{q})}
  • p \rightarrow q \Longleftrightarrow p \leftrightarrow (p \wedge q)
  • p \rightarrow q \Longleftrightarrow q \leftrightarrow (p \lor q)

Leyes del bicondicional:

  • p \leftrightarrow q \Longleftrightarrow (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)

Ley de reducción al absurdo:

  • \neg{p} \rightarrow (q \wedge \neg{q}) \Longleftrightarrow p

Leyes de transposición

  • p \rightarrow q \Longleftrightarrow \neg{q} \rightarrow \neg{p}
  • p \leftrightarrow q \Longleftrightarrow \neg{p} \leftrightarrow \neg{q}

Leyes lógicas con tres proposiciones

Leyes asociativas:

  • (p \lor q) \lor r \Longleftrightarrow p \lor (q \lor r)
  • (p \wedge q) \lor r \Longleftrightarrow p \wedge (q \lor r)
  • (p \leftrightarrow q) \leftrightarrow r \Longleftrightarrow p \leftrightarrow (q \leftrightarrow r)

Leyes distributivas:

  • p \lor (q \wedge r) \Longleftrightarrow (p \lor q) \wedge (p \lor r)
  • p \wedge (q \lor r) \Longleftrightarrow (p \wedge q) \lor (q \wedge r)
  • p \rightarrow (q \lor r) \Longleftrightarrow (p \rightarrow q) \lor (p \rightarrow r)
  • p \rightarrow (q \wedge r) \Longleftarrow (p \rightarrow q) \wedge (p \rightarrow r)

Ley transitiva (o del silogismo hipotético):

  • (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow r) \Longrightarrow (p \rightarrow r)

Leyes lógicas condicionales

Ley de simplificación condicional:

  • p \wedge q \Longrightarrow p

Ley de ampliación disyuntiva:

  • p \Longrightarrow p \lor q

Leyes de inferencia (o silogismos disyuntivos):

  • \neg{p} \wedge (p \lor q) \Longrightarrow q
  • p \wedge (\neg{p} \lor \neg{q}) \Longrightarrow \neg{q}

Ley Modus Ponendo Ponens:

  • (p \rightarrow q) \wedge p \Longrightarrow q

Ley Modus Tollendo Tollens:

  • (p \rightarrow q) \wedge \neg{q} \Longrightarrow \neg{p}

Ley del silogismo:

  • (p \rightarrow q) \Longrightarrow (q \rightarrow r) \rightarrow (p \rightarrow r)

Ley de exportación:

  • (p \wedge q) \rightarrow r \Longleftrightarrow p \rightarrow (q \rightarrow r)

Ley de permutación:

  • p \rightarrow (q \rightarrow r) \Longleftrightarrow q \rightarrow (p \rightarrow r)

Ley del dilema constructivo

  • (p \rightarrow r) \wedge (q \rightarrow r) \wedge (p \lor q) \Longrightarrow r
  • (p \rightarrow r) \wedge (q \rightarrow s) \wedge (p \lor q) \Longrightarrow r \lor s

Ley del dilema destructivo:

  • (\neg{p} \lor \neg{q}) \wedge (r \rightarrow p) \wedge (s \rightarrow q) \Longrightarrow \neg{r} \lor \neg{s}

Ley de resolución

  • (\neg{p} \lor q) \wedge (p \lor r) \Longrightarrow q \lor r

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